Mis vahe on lagrangllasel ja hamiltonlasel?


Vastus 1:

Ma arvan, et te pole õppinud analüütilist mehaanikat ega mehaanikat 4. kursuse või magistriõppe tasemel. Sellest saate aru variatsioonide kalkulatsiooni asjakohaste elementide mõistmiseks.

 

Lagrangianlased ja hamiltonlased pakuvad füüsikalise süsteemi alternatiivseid, kuid samaväärseid kirjeldusi. Neid seostas matemaatiline teisendus, mida nimetatakse "Legendre'i teisenduseks". Põhimõtteliselt võib mis tahes probleemi, mille saab sõnastada lagrangia abil, muuta Hamiltoni abil samaväärseks probleemiks ja vastupidi. Valik ühe või teise kasutamise vahel taandub sellele, kumb annab probleemi, mida on matemaatiliselt lihtsam lahendada.

 

Optimeerimise matemaatika uurimisel nimetataks neid kahte probleemi teineteise "kaksikuteks". Tegelikult saab kogu lagranglite ja hamiltonlaste küsimus selgemaks, kui optimeerimise matemaatikat peetakse selgelt meeles. Kuid nii, nagu füüsikat sageli esitatakse, võib füüsilise probleemi optimeerimise aspekt tulla ja minna sellise kiirusega, et kui vilgutad, siis jääd sellest ilma.


Vastus 2:

12mx˙2\frac{1}{2}m{\dot{x}}^2

12kx2\frac{1}{2}kx^2

Lx ddtLx˙=0\frac{\partial L}{\partial x}  - \frac{d}{dt} \frac{\partial L}{\partial \dot{x}} = 0

LL

xx

x˙\dot{x}

L=12mx˙212kx2L=\frac{1}{2}m{\dot{x}}^2-\frac{1}{2}kx^2

kxmx¨=0-kx-m\ddot{x}=0

Hx=p˙\frac{\partial H}{\partial x} = -\dot{p}

Hp=x˙\frac{\partial H}{\partial p} = \dot{x}

HH

xx

pp

p=mx˙p=m\dot{x}

H=p22m+12kx2H=\frac{p^2}{2m}+\frac{1}{2}kx^2

kx=p˙kx = -\dot{p}

pm=x˙\frac{p}{m}=\dot{x}

H=x˙Lx˙LH = \dot{x} \frac{\partial L}{\dot x}-L


Vastus 3:

Mõnes mõttes pole Newtoni mehaanika, Lagrangi mehaanika ja Hamiltoni mehaanika vahel põhimõttelisi erinevusi. Need kõik pakuvad teile süsteemi ajas arenedes samaväärseid lahendusi. Lagrangian ja Hiltonian on Legendre'i teisendused. Põhimõtteliselt võimaldab lagrangialane töötada konfiguratsiooniruumis ja Hamiltoni keel võimaldab töötada faasiruumis. Millist neist konkreetse probleemi jaoks kasutate, taandub lihtsalt sellele, millist on mugavam või lihtsam lahendada. Süsteemi jaoks, mille konfiguratsiooniruum on mõõtmega n, on Hamiltoni võrrandid komplekt 2n, ühendatud, esimese astme diferentsiaalvõrrandid, samas kui Euler-Lagrange'i võrrandid on n ühendatud, teise astme diferentsiaalvõrrandite komplekt.


Vastus 4:

Mitterelativistlikus kvantmehaanikas osutub Hamiltoni operaatoriks asi, mis süsteemi olekut ajas edasi viib. Sellepärast on teil võrrand

H^Ψ=itΨ\hat H |\Psi \rangle = i \hbar \frac{\partial}{\partial t} |\Psi \rangle

Pisut tehnilisem viis öeldes on "Hamiltoni operaator on aja tõlkimise generaator".

Teisest küljest, kui liikuda kvantväljavälja teooria juurde, on üks peamisi eesmärke tagada, et kõik oleks relatiivsusega kooskõlas - teisisõnu, soovite, et teooria oleks selgesõnaliselt Lorentz-invariant. Nagu olete ehk märganud, ei ole Hamiltoni (ja tegelikult kogu Schrödingeri võrrandi mõiste) * otseselt * Lorentz-invariant, lihtsalt sellepärast, et see eraldab aja ruumilistest koordinaatidest millegi erilisena. Samuti, nagu võite Lagrangiani mehaanikast meenutada, jõutakse Hamiltoni esimesena Lagrangianal Legendre'i teisenduse läbiviimisel:

H=pdxdtLH = p\frac{dx}{dt} - L

Mis jällegi eraldab ajaveetmise kui midagi erilist. QFT-s te seda ei soovi. See viib meid tagasi Lagrangiani tiheduse mõiste juurde, mida saab * lihtsalt * muuta Lorentz-invariantseks. Näiteks on lihtsaim võimalik QFT skalaari vabavälja teooria ja sellel on järgmine Lagrangia tihedus:

L=12(μϕ)(μϕ)12m2ϕ2\mathcal{L} = \frac{1}{2} (\partial_\mu \phi)(\partial^\mu \phi) - \frac{1}{2}m^2 \phi^2

Kuna indeksid vastavad õigesti, on Lorentzi teisenduse ajal see kogus selgelt muutumatu ja seega on ka kogu sellest hetkest tuletatud füüsika. See on peamine põhjus, miks QFT-s Hamiltoni tiheduse asemel tuleks kasutada Lagrangia tihedust.

Tuleb märkida, et * on * võimalik kasutada Hamiltoni tihedust relativistlikus QFT, kuid see on palju keerukam, kuna Hamiltonil on ruum ja aeg selgesõnaliselt lahus, seetõttu jäetakse see üldiselt Lagrangia tiheduse kasuks.

EDIT: Minu vastus liideti erineva küsimusega - algse küsimuse seletuses, millele ma vastasin, mainiti konkreetselt Hamiltoni operaatori kasutamist mitterelativistlikus kvantmehaanikas vs Lagrangia tiheduse kasutamist osakeste füüsika / kvantvälja teoorias.


Vastus 5:

Mitterelativistlikus kvantmehaanikas osutub Hamiltoni operaatoriks asi, mis süsteemi olekut ajas edasi viib. Sellepärast on teil võrrand

H^Ψ=itΨ\hat H |\Psi \rangle = i \hbar \frac{\partial}{\partial t} |\Psi \rangle

Pisut tehnilisem viis öeldes on "Hamiltoni operaator on aja tõlkimise generaator".

Teisest küljest, kui liikuda kvantväljavälja teooria juurde, on üks peamisi eesmärke tagada, et kõik oleks relatiivsusega kooskõlas - teisisõnu, soovite, et teooria oleks selgesõnaliselt Lorentz-invariant. Nagu olete ehk märganud, ei ole Hamiltoni (ja tegelikult kogu Schrödingeri võrrandi mõiste) * otseselt * Lorentz-invariant, lihtsalt sellepärast, et see eraldab aja ruumilistest koordinaatidest millegi erilisena. Samuti, nagu võite Lagrangiani mehaanikast meenutada, jõutakse Hamiltoni esimesena Lagrangianal Legendre'i teisenduse läbiviimisel:

H=pdxdtLH = p\frac{dx}{dt} - L

Mis jällegi eraldab ajaveetmise kui midagi erilist. QFT-s te seda ei soovi. See viib meid tagasi Lagrangiani tiheduse mõiste juurde, mida saab * lihtsalt * muuta Lorentz-invariantseks. Näiteks on lihtsaim võimalik QFT skalaari vabavälja teooria ja sellel on järgmine Lagrangia tihedus:

L=12(μϕ)(μϕ)12m2ϕ2\mathcal{L} = \frac{1}{2} (\partial_\mu \phi)(\partial^\mu \phi) - \frac{1}{2}m^2 \phi^2

Kuna indeksid vastavad õigesti, on Lorentzi teisenduse ajal see kogus selgelt muutumatu ja seega on ka kogu sellest hetkest tuletatud füüsika. See on peamine põhjus, miks QFT-s Hamiltoni tiheduse asemel tuleks kasutada Lagrangia tihedust.

Tuleb märkida, et * on * võimalik kasutada Hamiltoni tihedust relativistlikus QFT, kuid see on palju keerukam, kuna Hamiltonil on ruum ja aeg selgesõnaliselt lahus, seetõttu jäetakse see üldiselt Lagrangia tiheduse kasuks.

EDIT: Minu vastus liideti erineva küsimusega - algse küsimuse seletuses, millele ma vastasin, mainiti konkreetselt Hamiltoni operaatori kasutamist mitterelativistlikus kvantmehaanikas vs Lagrangia tiheduse kasutamist osakeste füüsika / kvantvälja teoorias.


Vastus 6:

Mitterelativistlikus kvantmehaanikas osutub Hamiltoni operaatoriks asi, mis süsteemi olekut ajas edasi viib. Sellepärast on teil võrrand

H^Ψ=itΨ\hat H |\Psi \rangle = i \hbar \frac{\partial}{\partial t} |\Psi \rangle

Pisut tehnilisem viis öeldes on "Hamiltoni operaator on aja tõlkimise generaator".

Teisest küljest, kui liikuda kvantväljavälja teooria juurde, on üks peamisi eesmärke tagada, et kõik oleks relatiivsusega kooskõlas - teisisõnu, soovite, et teooria oleks selgesõnaliselt Lorentz-invariant. Nagu olete ehk märganud, ei ole Hamiltoni (ja tegelikult kogu Schrödingeri võrrandi mõiste) * otseselt * Lorentz-invariant, lihtsalt sellepärast, et see eraldab aja ruumilistest koordinaatidest millegi erilisena. Samuti, nagu võite Lagrangiani mehaanikast meenutada, jõutakse Hamiltoni esimesena Lagrangianal Legendre'i teisenduse läbiviimisel:

H=pdxdtLH = p\frac{dx}{dt} - L

Mis jällegi eraldab ajaveetmise kui midagi erilist. QFT-s te seda ei soovi. See viib meid tagasi Lagrangiani tiheduse mõiste juurde, mida saab * lihtsalt * muuta Lorentz-invariantseks. Näiteks on lihtsaim võimalik QFT skalaari vabavälja teooria ja sellel on järgmine Lagrangia tihedus:

L=12(μϕ)(μϕ)12m2ϕ2\mathcal{L} = \frac{1}{2} (\partial_\mu \phi)(\partial^\mu \phi) - \frac{1}{2}m^2 \phi^2

Kuna indeksid vastavad õigesti, on Lorentzi teisenduse ajal see kogus selgelt muutumatu ja seega on ka kogu sellest hetkest tuletatud füüsika. See on peamine põhjus, miks QFT-s Hamiltoni tiheduse asemel tuleks kasutada Lagrangia tihedust.

Tuleb märkida, et * on * võimalik kasutada Hamiltoni tihedust relativistlikus QFT, kuid see on palju keerukam, kuna Hamiltonil on ruum ja aeg selgesõnaliselt lahus, seetõttu jäetakse see üldiselt Lagrangia tiheduse kasuks.

EDIT: Minu vastus liideti erineva küsimusega - algse küsimuse seletuses, millele ma vastasin, mainiti konkreetselt Hamiltoni operaatori kasutamist mitterelativistlikus kvantmehaanikas vs Lagrangia tiheduse kasutamist osakeste füüsika / kvantvälja teoorias.


Vastus 7:

Mitterelativistlikus kvantmehaanikas osutub Hamiltoni operaatoriks asi, mis süsteemi olekut ajas edasi viib. Sellepärast on teil võrrand

H^Ψ=itΨ\hat H |\Psi \rangle = i \hbar \frac{\partial}{\partial t} |\Psi \rangle

Pisut tehnilisem viis öeldes on "Hamiltoni operaator on aja tõlkimise generaator".

Teisest küljest, kui liikuda kvantväljavälja teooria juurde, on üks peamisi eesmärke tagada, et kõik oleks relatiivsusega kooskõlas - teisisõnu, soovite, et teooria oleks selgesõnaliselt Lorentz-invariant. Nagu olete ehk märganud, ei ole Hamiltoni (ja tegelikult kogu Schrödingeri võrrandi mõiste) * otseselt * Lorentz-invariant, lihtsalt sellepärast, et see eraldab aja ruumilistest koordinaatidest millegi erilisena. Samuti, nagu võite Lagrangiani mehaanikast meenutada, jõutakse Hamiltoni esimesena Lagrangianal Legendre'i teisenduse läbiviimisel:

H=pdxdtLH = p\frac{dx}{dt} - L

Mis jällegi eraldab ajaveetmise kui midagi erilist. QFT-s te seda ei soovi. See viib meid tagasi Lagrangiani tiheduse mõiste juurde, mida saab * lihtsalt * muuta Lorentz-invariantseks. Näiteks on lihtsaim võimalik QFT skalaari vabavälja teooria ja sellel on järgmine Lagrangia tihedus:

L=12(μϕ)(μϕ)12m2ϕ2\mathcal{L} = \frac{1}{2} (\partial_\mu \phi)(\partial^\mu \phi) - \frac{1}{2}m^2 \phi^2

Kuna indeksid vastavad õigesti, on Lorentzi teisenduse ajal see kogus selgelt muutumatu ja seega on ka kogu sellest hetkest tuletatud füüsika. See on peamine põhjus, miks QFT-s Hamiltoni tiheduse asemel tuleks kasutada Lagrangia tihedust.

Tuleb märkida, et * on * võimalik kasutada Hamiltoni tihedust relativistlikus QFT, kuid see on palju keerukam, kuna Hamiltonil on ruum ja aeg selgesõnaliselt lahus, seetõttu jäetakse see üldiselt Lagrangia tiheduse kasuks.

EDIT: Minu vastus liideti erineva küsimusega - algse küsimuse seletuses, millele ma vastasin, mainiti konkreetselt Hamiltoni operaatori kasutamist mitterelativistlikus kvantmehaanikas vs Lagrangia tiheduse kasutamist osakeste füüsika / kvantvälja teoorias.


Vastus 8:

Mitterelativistlikus kvantmehaanikas osutub Hamiltoni operaatoriks asi, mis süsteemi olekut ajas edasi viib. Sellepärast on teil võrrand

YouintegratetheLagrangianwithrespecttotimetogetaquantitycalledtheaction,andtheactiondeterminesthedynamicsofthesystembyHamiltonsprinciple(yes,Iknowthenameisconfusing).Thisprinciplestatesthatthesystemevolvesinsuchawaysothattheactionisstationarywithrespecttoperturbationsthatleavetheboundaryconditions(i.e.,initialandfinalstate)constant.Forexample,ifaparticletravelsfrompointAtopointBovertheintervaloftime[t1,t2],theactionofthepathittakesmustbestationarywithinthespaceofallpathsfromAtoBwhichstartattime[math]t1[/math]andendattime[math]t2[/math].ThesolutiontothisvariationalproblemisgivenbytheEulerLagrangeequations.You integrate the Lagrangian with respect to time to get a quantity called the action, and the action determines the dynamics of the system by Hamilton's principle (yes, I know the name is confusing). This principle states that the system evolves in such a way so that the action is stationary with respect to perturbations that leave the boundary conditions (i.e., initial and final state) constant. For example, if a particle travels from point A to point B over the interval of time [t_1, t_2], the action of the path it takes must be stationary within the space of all paths from A to B which start at time [math]t_1[/math] and end at time [math]t_2[/math]. The solution to this variational problem is given by the Euler--Lagrange equations.

AsfortheHamiltonian,onceyouwritedowntheHamiltonian,youcanmuchmoredirectlywritedownthetimeevolutionofthesystem,inthesensethatifthesystemisdescribedbythevariables(q1,,qN,p1,,pN),youcanimmediatelycompute[math]q˙1,,q˙N,p˙1,,p˙N[/math]soyoucanpredictwhatstatethesystemwillevolveintoafteraninfinitesimalintervaloftimeelapses.(Inclassicalmechanics,togetthesetimederivatives,youactuallyhavetocomputederivativesoftheHamiltonian,butinquantummechanics,itisevensimpler,andtheHamiltonianisjustanoperatorwhichactsonthestatetoimmediatelygivethetimederivativeofthestate,uptoaconstantfactor.)ButbecausetheHamiltonianisdesignedtoletyouevolvethesysteminaparticulartimedirection,itisnotmanifestlyLorentzinvariantthewaytheLagrangianis.As for the Hamiltonian, once you write down the Hamiltonian, you can much more directly write down the time evolution of the system, in the sense that if the system is described by the variables (q_1, \ldots, q_N, p_1, \ldots, p_N), you can immediately compute [math]\dot{q}_1, \ldots, \dot{q}_N, \dot{p}_1, \ldots, \dot{p}_N[/math] so you can predict what state the system will evolve into after an infinitesimal interval of time elapses. (In classical mechanics, to get these time derivatives, you actually have to compute derivatives of the Hamiltonian, but in quantum mechanics, it is even simpler, and the Hamiltonian is just an operator which acts on the state to immediately give the time derivative of the state, up to a constant factor.) But because the Hamiltonian is designed to let you evolve the system in a particular time direction, it is not manifestly Lorentz-invariant the way the Lagrangian is.

Teisest küljest, kui liikuda kvantväljavälja teooria juurde, on üks peamisi eesmärke tagada, et kõik oleks relatiivsusega kooskõlas - teisisõnu, soovite, et teooria oleks selgesõnaliselt Lorentz-invariant. Nagu olete ehk märganud, ei ole Hamiltoni (ja tegelikult kogu Schrödingeri võrrandi mõiste) * otseselt * Lorentz-invariant, lihtsalt sellepärast, et see eraldab aja ruumilistest koordinaatidest millegi erilisena. Samuti, nagu võite Lagrangiani mehaanikast meenutada, jõutakse Hamiltoni esimesena Lagrangianal Legendre'i teisenduse läbiviimisel:

H=pdxdtLH = p\frac{dx}{dt} - L

Mis jällegi eraldab ajaveetmise kui midagi erilist. QFT-s te seda ei soovi. See viib meid tagasi Lagrangiani tiheduse mõiste juurde, mida saab * lihtsalt * muuta Lorentz-invariantseks. Näiteks on lihtsaim võimalik QFT skalaari vabavälja teooria ja sellel on järgmine Lagrangia tihedus:

L=12(μϕ)(μϕ)12m2ϕ2\mathcal{L} = \frac{1}{2} (\partial_\mu \phi)(\partial^\mu \phi) - \frac{1}{2}m^2 \phi^2

Kuna indeksid vastavad õigesti, on Lorentzi teisenduse ajal see kogus selgelt muutumatu ja seega on ka kogu sellest hetkest tuletatud füüsika. See on peamine põhjus, miks QFT-s Hamiltoni tiheduse asemel tuleks kasutada Lagrangia tihedust.

Tuleb märkida, et * on * võimalik kasutada Hamiltoni tihedust relativistlikus QFT, kuid see on palju keerukam, kuna Hamiltonil on ruum ja aeg selgesõnaliselt lahus, seetõttu jäetakse see üldiselt Lagrangia tiheduse kasuks.

EDIT: Minu vastus liideti erineva küsimusega - algse küsimuse seletuses, millele ma vastasin, mainiti konkreetselt Hamiltoni operaatori kasutamist mitterelativistlikus kvantmehaanikas vs Lagrangia tiheduse kasutamist osakeste füüsika / kvantvälja teoorias.


Vastus 9:

Mitterelativistlikus kvantmehaanikas osutub Hamiltoni operaatoriks asi, mis süsteemi olekut ajas edasi viib. Sellepärast on teil võrrand

H^Ψ=itΨ\hat H |\Psi \rangle = i \hbar \frac{\partial}{\partial t} |\Psi \rangle

Pisut tehnilisem viis öeldes on "Hamiltoni operaator on aja tõlkimise generaator".

Teisest küljest, kui liikuda kvantväljavälja teooria juurde, on üks peamisi eesmärke tagada, et kõik oleks relatiivsusega kooskõlas - teisisõnu, soovite, et teooria oleks selgesõnaliselt Lorentz-invariant. Nagu olete ehk märganud, ei ole Hamiltoni (ja tegelikult kogu Schrödingeri võrrandi mõiste) * otseselt * Lorentz-invariant, lihtsalt sellepärast, et see eraldab aja ruumilistest koordinaatidest millegi erilisena. Samuti, nagu võite Lagrangiani mehaanikast meenutada, jõutakse Hamiltoni esimesena Lagrangianal Legendre'i teisenduse läbiviimisel:

H=pdxdtLH = p\frac{dx}{dt} - L

Mis jällegi eraldab ajaveetmise kui midagi erilist. QFT-s te seda ei soovi. See viib meid tagasi Lagrangiani tiheduse mõiste juurde, mida saab * lihtsalt * muuta Lorentz-invariantseks. Näiteks on lihtsaim võimalik QFT skalaari vabavälja teooria ja sellel on järgmine Lagrangia tihedus:

L=12(μϕ)(μϕ)12m2ϕ2\mathcal{L} = \frac{1}{2} (\partial_\mu \phi)(\partial^\mu \phi) - \frac{1}{2}m^2 \phi^2

Kuna indeksid vastavad õigesti, on Lorentzi teisenduse ajal see kogus selgelt muutumatu ja seega on ka kogu sellest hetkest tuletatud füüsika. See on peamine põhjus, miks QFT-s Hamiltoni tiheduse asemel tuleks kasutada Lagrangia tihedust.

Tuleb märkida, et * on * võimalik kasutada Hamiltoni tihedust relativistlikus QFT, kuid see on palju keerukam, kuna Hamiltonil on ruum ja aeg selgesõnaliselt lahus, seetõttu jäetakse see üldiselt Lagrangia tiheduse kasuks.

EDIT: Minu vastus liideti erineva küsimusega - algse küsimuse seletuses, millele ma vastasin, mainiti konkreetselt Hamiltoni operaatori kasutamist mitterelativistlikus kvantmehaanikas vs Lagrangia tiheduse kasutamist osakeste füüsika / kvantvälja teoorias.