Tõenäosus (statistika): mis vahe on binominaalse, poissoni ja normaaljaotuse vahel?


Vastus 1:

Binoomjaotus on diskreetjaotus, millel on kaks parameetrit, nimelt. valimi suurus (n) ja õnnestumise tõenäosus (p).

Poissoni jaotus on ka ühe parameetriga diskreetne jaotus (np), kus n on väga suur ja p on väga väike. Sellel on omapärane omadus, et selle keskmine = dispersioon = np

Normaalne jaotus on pidev jaotus. Sellel on kellakujuline kõver.


Vastus 2:

Alustuseks on binoomi ja Poissoni jaotused diskreetsed jaotused, mis annavad nullist erineva tõenäosuse ainult (mõnede) täisarvude korral. Normaalne jaotus on pidev jaotus. Iga normaalne tihedus ei ole kõigi reaalarvude korral null.

Binoomjaotused on kasulikud binoomikatses tekkivate sündmuste modelleerimiseks. Näited hõlmavad seda, kui palju mündiklappe näitab päid, mitu tühjalt loteriiga piletid on võitjad, kui palju arsti patsiente sureb operatsiooni ajal ja kui palju tasuta viskeid teen saja katse jooksul. Sellise katse peamised koostisosad on järgmised:

  • Afixednumberofrepeated,identical,independenttrials.nisusuallytheparameterchosentolabelthenumberoftrials.Everytrialresultsineitherasuccess,withprobability[math]p[/math],orafailure,withprobability[math]1p[/math].Thesemustbetheonlytwopossibleoutcomesforatrial.Therandomvariableofinterestisthetotalnumberoftrialsthatendedinasuccess.A fixed number of repeated, identical, independent trials. n is usually the parameter chosen to label the number of trials.Every trial results in either a success, with probability [math]p[/math], or a failure, with probability [math]1-p[/math]. These must be the only two possible outcomes for a trial.The random variable of interest is the total number of trials that ended in a success.

Theprobabilitymassfunctionforthebinomialdistributionisgivenby:p(x)=(nx)px(1p)nxfor[math]x=0,1,2,,n[/math]The probability mass function for the binomial distribution is given by:p(x) = \binom n x p^x (1-p)^{n-x} for [math]x=0,1,2,\ldots, n[/math]

Poissoni jaotused on kasulikud sündmuste modelleerimiseks, mis näivad ikka ja jälle toimuvat täiesti juhuslikul viisil. Näiteks kui palju magnituudiga 8+ maavärinat konkreetsel aastal aset leiab? Või mitu last sünnib konkreetsel päeval suures haiglas? Või mitu tabamust saab veebisait konkreetsel minutil? Poissoni mudeli peamised eeldused hõlmavad järgmist:

  • Therandomvariablecountsthenumberofeventsthattakeplaceinagiveninterval(usuallyoftimeorspace).Alleventstakeplaceindependentlyofallotherevents.Therateatwhicheventstakeplaceisconstantusuallydenotedλ.The random variable counts the number of events that take place in a given interval (usually of time or space).All events take place independently of all other events.The rate at which events take place is constant usually denoted \lambda.

Theprobabilitymassfunctionforthenumberofeventsthattakeplaceinanytime,t,isgivenby: [math]p(x)=eλt(λt)xx![/math]for[math]x=0,1,2,[/math]The probability mass function for the number of events that take place in anytime, t, is given by: [math]p(x) = \frac{e^{-\lambda t}(\lambda t)^x}{x!}[/math] for [math]x = 0, 1, 2, \ldots[/math]

Tavaliste jaotuste abil modelleeritakse liiga palju erinevaid omadusi, et hakata loetlema füüsikat, sotsiaalteadusi, bioloogilisi teadusi, inseneriteadusi ja edasi. Üks põhjus, miks see nii sageli ilmub, on keskse piiri teoreem. Põhimõtteliselt kuvavad kõik omadused, mis tekivad paljude väiksemate sõltumatute (või nõrgalt sõltuvate) panustajate kogumina, ligikaudset normaaljaotust, kuni ükski nende kaastöötajate väike alamhulk ei domineeri.

Theprobabilitydensityfunctionforanormaldistributionwithmeanμandstandarddeviation[math]σ[/math]isgivenby:[math]f(x)=1σ2πe(xμ)22σ2[/math]forall[math]xR[/math].The probability density function for a normal distribution with mean \mu and standard deviation [math]\sigma[/math] is given by:[math]f(x) = \frac {1}{\sigma \sqrt{2\pi}}e^{-\frac {(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}[/math] for all [math]x\in \mathbb R[/math].