Kas ratsionaalsete ja irratsionaalsete numbrite vahel on reaalne kontseptuaalne erinevus või on erinevused meie numeratsioonisüsteemi artefakt?


Vastus 1:

Nende kahe kontseptuaalne erinevus on tohutu. Ratsionaalarvud määratletakse puhtalt algebraliselt: alustate täisarvude ringist (mis on väikseim rõngas, milles on mingi lõpmatu järjekorra element - nimelt number 1) ja võtke selle murdosad. See on piiratud, puhtalt algebraline protseduur. Analüüsi kontseptsioone (nagu piirid, lähenemine jne) pole vaja. Kuid tegelike arvude määratlemiseks vajame analüüsi. Täpsemalt, me vajame mõistet “meetrika” reaalarvude väljal (mis on kauguse mõiste matemaatiline vormistamine) ja mõistet “välja täitmine meetrika suhtes”. Realarvude komplekt on määratletud kui ratsionaalsete arvude välja täitmine võrreldes standardse (arhiimedeani) mõõdikuga. Täpsemalt öeldes on see ratsionaalarvude „Cauchy jadade” ekvivalentsusklasside komplekt standardmõõdiku suhtes (see on tegelikult väli).

Ratsionaalsete arvude komplekt sisaldub loomulikult reaalarvude komplektis: iga ratsionaalarv x annab pideva Cauchy jada (x, x, x, x,…). Ratsionaalarvude komplekt reaalarvude komplektis on komplekt, mida nimetatakse irratsionaalarvude komplektiks. Konkreetselt saame iga reaalarvu esitada kümnendarvuna. See on lihtsalt konkreetne viis selle numbri Cauchy jada registreerimiseks (nimelt reaalse arvu kümnendarvusele vastav Cauchy jada on selle esimese n numbri jada kõigi n-i jaoks). Kuid reaalarvude (ja seega ka irratsionaalsete numbrite) kontseptsioonil endal pole midagi pistmist konkreetse numbrite esinemisviisiga. Näiteks võiksime kasutada selle asemel kahendvormi või muud vormi „baas k”. See on vaid esindamise küsimus. Pärisarvu mõiste määratletakse sõltumatult konkreetsest esitusviisist.

Kui seda määratlust vaadata, saab selgeks, kui tohutult keerukamad irratsionaalsed numbrid on kui ratsionaalsed numbrid. Ratsionaalsed ja irratsionaalsed numbrid EI OLE ühe ja sama mündi kaks külge. Näiteks esimene komplekt on loendatav ja viimane mitte (see on kuulsa Cantori diagonaaliargumendi järeldus). Ratsionaalsed numbrid moodustavad välja (see on reaalarvude alamväli), kuid irratsionaalsed numbrid seda ei tee.

Samuti tahan mainida, et neil kahel mõistel on matemaatikas palju vasteid. Alustame täisarvude asemel ükskõik millise rõngaga; näiteks Gaussi täisarvude ring (a + bi), kus i on ruutjuur -1, ja võtame selle murdarvu välja. Seejärel võime sellel väljal mõõdiku sisse viia ja selle täita. Kui võtame standardse (arhiimede) mõõdiku, saame Gaussi täisarvude puhul lõpule keerukate arvude välja. On veel üks üldistus: lisaks arhiimede mõõdikutele ratsionaalsete numbrite väljal (või mõne muu rõnga, näiteks Gaussi täisarvude rõnga osade väljal) on olemas ka teisi mõõdikuid. Näiteks ratsionaalarvude välja jaoks on olemas nn p-adic meetrikad, iga algarvu p korral. Ratsionaalsete numbrite välja täitmist p-adic-meetrika suhtes nimetatakse p-adic-numbrite väljaks. Neid on sama huvitav uurida kui reaal- ja keeruliste numbrite valdkondi ning viimase 100 aasta jooksul on selles valdkonnas palju uuritud. Niisiis, teie küsimus viib meid tõeliselt põnevate ideede ja konstruktsioonide juurde. (Lisateabe saamiseks lihtsalt Google'i mõisted, mida ma eespool tõstsin.)


Vastus 2:

Jah.

Niipea kui need määratlete, on nad üsna erinevad. Ratsionaalarvud on numbrid, mida saab väljendada kahe täisarvu suhtena. Irratsionaalsed numbrid on sellised, mis ei saa. Suvalise ratsionaalse numbri arvutamine ja sellega manipuleerimine kipub olema lihtsam, sest niipea, kui ma tean, et mul on üks, saab selle kirja panna viisil, mida saab liita, korrutada, lahutada ja jagada. Irratsionaalid ei käitu päris nii kenasti.

See, et neil on multiplikatiivsed pöörded, muudab nad põlluks. Eespool nimetatud toimingute ajal on need ka suletud. Võite korrutada kaks irratsionaalset arvu ja saada lõpuks ratsionaalse - irratsionaalid veritsevad viisil, mida ratsionaalsed ei tee.

Lisaks tunnevad (ja on tõepoolest) nende lõpmatused hoopis teistsugust. Üks on loendatavate numbrite haaratav, ettekujutatav, peaaegu nähtav lõpmatus ja teine ​​on kontinuumi arusaamatu tihedus.

Olen kindel, et neid on veel; minu teadmised on piiratud, kuid need on kõige ilmsemad.


Vastus 3:

Jah.

Niipea kui need määratlete, on nad üsna erinevad. Ratsionaalarvud on numbrid, mida saab väljendada kahe täisarvu suhtena. Irratsionaalsed numbrid on sellised, mis ei saa. Suvalise ratsionaalse numbri arvutamine ja sellega manipuleerimine kipub olema lihtsam, sest niipea, kui ma tean, et mul on üks, saab selle kirja panna viisil, mida saab liita, korrutada, lahutada ja jagada. Irratsionaalid ei käitu päris nii kenasti.

See, et neil on multiplikatiivsed pöörded, muudab nad põlluks. Eespool nimetatud toimingute ajal on need ka suletud. Võite korrutada kaks irratsionaalset arvu ja saada lõpuks ratsionaalse - irratsionaalid veritsevad viisil, mida ratsionaalsed ei tee.

Lisaks tunnevad (ja on tõepoolest) nende lõpmatused hoopis teistsugust. Üks on loendatavate numbrite haaratav, ettekujutatav, peaaegu nähtav lõpmatus ja teine ​​on kontinuumi arusaamatu tihedus.

Olen kindel, et neid on veel; minu teadmised on piiratud, kuid need on kõige ilmsemad.


Vastus 4:

Jah.

Niipea kui need määratlete, on nad üsna erinevad. Ratsionaalarvud on numbrid, mida saab väljendada kahe täisarvu suhtena. Irratsionaalsed numbrid on sellised, mis ei saa. Suvalise ratsionaalse numbri arvutamine ja sellega manipuleerimine kipub olema lihtsam, sest niipea, kui ma tean, et mul on üks, saab selle kirja panna viisil, mida saab liita, korrutada, lahutada ja jagada. Irratsionaalid ei käitu päris nii kenasti.

See, et neil on multiplikatiivsed pöörded, muudab nad põlluks. Eespool nimetatud toimingute ajal on need ka suletud. Võite korrutada kaks irratsionaalset arvu ja saada lõpuks ratsionaalse - irratsionaalid veritsevad viisil, mida ratsionaalsed ei tee.

Lisaks tunnevad (ja on tõepoolest) nende lõpmatused hoopis teistsugust. Üks on loendatavate numbrite haaratav, ettekujutatav, peaaegu nähtav lõpmatus ja teine ​​on kontinuumi arusaamatu tihedus.

Olen kindel, et neid on veel; minu teadmised on piiratud, kuid need on kõige ilmsemad.