Kuidas tõestada, et paarituse ja paarisarvu erinevus on paaritu?


Vastus 1:

Tõestame selle vastuolulisusega, st eeldame, et paaritu täisarvu ja paarisarvu erinevus on ühtlane. Oletame paaritu täisarvu kujul 2m + 1, kus m> 0. Võtke nüüd teine ​​täisarv 2n, n> 0. Samuti eeldame, et paarisarv on väiksem kui paaritu täisarv. Seega 2m + 1 - 2n = 2k (ütleme). LHS-i ekv lahendamine annab:

2 (mn) + 1 = 2 k. Nüüd on LHS-i väärtus selge kujul 2a + 1, kus a = m - n, seega LHS on paaritu arv, samas kui RHS on paarisarv. Seega on meie esialgne hüpotees vale. Seega on tõestatud, et paaritu arvu ja paarisarvu erinevus on alati paaritu.


Vastus 2:

Võtke paarisarv a ja paaritu täisarv b.

Võite kirjutada numbriga 2x, kus x on täisarv, ja b kui 2y, kus y pole täisarv (paaritu definitsiooni järgi).

Tahame näidata, et 2x-2y on veider.

Jätkake vastuoluga:

Oletame, et 2x-2y on ühtlane.

=> 2 (xy) = c, paarisarv

=> xy = c / 2, täisarv.

=> y = x + c / 2

=> y on täisarv

=> on leitud vastuolu


Vastus 3:

Paaritut täisarvu saame väljendada kui

2x+12x+1

ja isegi kui

2y2y

, kus

xx

ja

yy

on täisarvud. Siis on erinevus

2x+12y=2(xy)+12x+1-2y = 2(x-y) + 1

. Kuna erinevus ei ole jagatav kahega, on see veider.

Selle tõestuseks võime kasutada ka modulaarset aritmeetikat. Olgu paaritu täisarv

mm

ja isegi täisarv

nn

. Siis

m1mod2m \equiv 1 \bmod 2

ja

n0mod2n \equiv 0 \bmod 2

. Seetõttu

(mn)(10)mod21mod2(m-n) \equiv (1-0)\bmod 2 \equiv 1 \bmod 2

. Kuna erinevus on ühtlane 1 mod 2-ga, on see veider.